Logika Informatika

 






Dasar Logika

Apa itu Logika ??!!

Logika adalah ilmu tentang penalaran (reasoning).

Penalaran berarti mencari bukti validitas dari suatu argumen, mencari konsistensi dari pernyataan-pernyataan, dan membahas materi tentang kebenaran dan ketidak benaran.

Logika hanya berhubungan dengan bentuk-bentuk logika dari argumen-argumen, serta penarikan kesimpulan tentang validitas dari argumen tersebut. Logika tidak mempermasalahkan arti sebenarnya dari pernyataan tersebut, ataupun isi dari pernyataan.

Contoh :

Manusia mempunyai 2 mata.

Badu seorang manusia.

Dengan demikian, Badu mempunyai 2 mata.

Apa komentar anda terhadap argumen-argumen tersebut ?

Contoh :

Binatang mempunyai 2 mata.

Manusia mempunyai 2 mata.

Dengan demikian, binatang sama dengan manusia.

Apa komentar anda terhadap argumen-argumen tersebut ?

Logika tidak mempermasalahkan arti atau isi suatu pernyataan, tetapi hanya bentuk logika dari pernyataan itu.

Logika hanya menekankan bahwa premis-premis yang benar harus menghasilkan kesimpulan yang benar (valid), tetapi bukan kebenaran secata aktual atau kebenaran sehari-hari.

Penakanan logika pada penarikan kesimpulan tentang validitas suatu argumen untuk mendapatkan kebenaran yang bersifat abstrak, yang dibangun dengan memakai kaidah-kaidah dasar logika tentang kebenaran dan ketidakbenaran yang menggunakan perangkai logika, yakni “dan (and)”, “atau (or)”, “tidak (not)”, “jika…maka…(if…then…)”, “…jika dan hanya jika… (…if and only if…)”.

Penghubung Kalimat

p Û q ,berarti (p Þ q) Ù (q Þ p)

p Û q bernilai benar maka p Þ q maupun q Þ p,

keduanya harus bernilai benar

Tabel Kebenaran 2 variabel

            ( T = True/benar, F = False/salah )

Tabel Kebenaran 3 Variabel

Secara umum, jika ada n variabel (p,q,…), maka tabel kebenaran memuat 2ⁿ baris

Latihan :

1. Misal  k  : Monde orang kaya,   s : Monde bersuka cita

Tulislah bentuk simbolis kalimat-kalimat berikut :

1. Monde orang yang miskin tetapi bersuka cita
2. Monde orang kaya atau ia sedih
3. Monde tidak kaya ataupun bersuka cita
4. Monde seorang yang miskin atau ia kaya tetapi sedih.

Anggaplah ingkaran kaya adalah miskin, ingkaran dari bersuka cita adalah sedih.

Latihan :

2. Buatlah tabel kebenaran untuk kalimat dalam bentuk simbol-simbol logika dibawah ini !

a)      ~(~p Ú ~q)                             

b)       (p Þ q) Ù ~(p Ú q)

c)      ~(~p Û q)                  

d)      (~p Ù (~q Ù r)) Ú (q Ù r) Ú (p Ù r)

Latihan :

3. Pada kondisi bagaimanakah agar kalimat di bawah ini bernilai benar ?

            “Tidaklah benar kalau rumah kuno selalu bersalju atau angker, dan tidak juga benar kalau sebuah hotel selalu hangat atau rumah kuno selalu rusak.”

Ekuivalen
(secara logika)

Dua kalimat disebut Ekuivalen (secara logika) bila dan hanya bila keduannya mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua substitusi nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya.

Jika p dan q adalah kalimat-kalimat yang ekuivalen, maka dituliskan p º q .

Tentukan apakah pasangan kalimat-kalimat di bawah ini ekuivalen

~(~p) dengan p

~(p Ù q) dengan ~p Ù ~q

p Þ q  dengan ~p Ú q

tabel kebenaran ~(~p) dengan p

tabel kebenaran ~(p Ù q) dengan ~p Ù ~q

tabel kebenaran p Þ q  dengan ~p Ú q

l  Hukum Komutatif

l  p Λ q ≡ q Λ p

l  p V q ≡ q V p

l  Hukum Asosiatif

l  (p Λq) Λ r ≡ p Λ(q Λr)

l  (p V q) V r ≡ p V (q V r)

l  Hukum Distributif

l  p Λ(q V r) ≡ (p Λq) V (p Λr)

l  p V (q Λr ) ≡ (p V q) Λ(p V r)

l  Hukum Identitas

l  p Λ T ≡ p

l  p V F ≡ p

l  Hukum Ikatan

l  p V T ≡ T

l  p Λ F ≡ F

Pembuktian dengan Hukum Ekuivalensi
Contoh :

Sederhanakan bentuk ~(~p Ù q) Ù (p Ú q)

Penyelesaian :

~(~p Ù q) Ù (p Ú q)     Û (~(~p) Ú ~q) Ù (p Ú q)

                                                            Û (p Ú ~q) Ù (p Ú q)

                                                            Û p Ú (~q Ù q)

                                                            Û p Ú 0

                                                            Û p

Jadi      ~(~p Ù q) Ù (p Ú q)  Û p

3 cara membuktikan ekuivalensi P Û Q

1. P diturunkan terus menerus (dengan menggunakan  hukum-hukum yang ada), sehingga akhirnya didapat Q
2. Q diturunkan terus menerus (dengan menggunakan  hukum-hukum yang ada) sehingga akhirnya didapat P.
3. P dan Q masing-masing diturunkan secara terpisah ( dengan menggunakan hukum-hukum yang ada ) sehingga akhirnya sama-sama didapat R

Soal Latihan

6. Buktikan ekuivalensi kalimat-kalimat dibawah ini tanpa menggunakan tabel kebenaran

a)      ~(p Ú  ~q) V (~p Ù ~q)  Ξ ~p

b)      ~((~p Ù q) Ú (~p Ù ~q) )  Ú (p Ú q) Ξ p

c)      (p Ù (~(~p Ú q))) Ú (p Ù q) Ξ p

Ekuivalensi Þ(implikasi) & Û(bi-implikasi)

Untuk menunjukkan ekuivalensi 2 kalimat yang melibatkan penghubung  Þ (implikasi) dan Û (bi-implikasi), Kita harus terlebih dahulu mengubah penghubung Þ dan Û menjadi penghubung Ù, Ú dan ~. 

(kenyataan bahwa  (p Þ q) Û (~p Ú q) mempermudah kita untuk melakukannya)

Soal Latihan :

7. Buktikan ekuivalensi kalimat-kalimat dibawah ini tanpa menggunakan tabel kebenaran

a)      (q Þ p) Ξ (~p Þ ~q)

b)      (p Þ (q Þ r)) Ξ ((p Ù q) Þ r)

8. Ubahlah bentuk ~(p Þ q) sehingga hanya memuat penghubung Ù, Ú atau ~

Tautologi dan  Kontradiksi

Tautologi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai benar (T)

Kontradiksi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai salah (F)

Menggunakan hukum ekuivalensi

p → (p V q)

~p Ú (p Ú q)

(~p Ú p) Ú q)

1 Ú q

1

Soal latihan :

9. Tunjukkan bahwa kalimat-kalimat di bawah ini adalah Tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran  dan hukum equivalensi

a)      (p Ù q) Þ q

b)      q Þ (p Ú q)

10. Tunjukkan bahwa (p Þ q) Û (~q Þ ~p) berupakan Tautologi/kontradiksi/tidak keduanya, tanpa menggunakan tabel kebenaran

Konvers, Invers, & Kontraposisi

Misal diketahui implikasi        p Þ q

            Konvers-nya adalah                  q Þ p

            Invers-nya adalah                    ~p Þ ~q

            Kontraposisinya adalah           ~q Þ ~p

Tabel Kebenaran

Soal Latihan

11. Apakah Konvers, invers, dan Kontraposisi kalimat dibawah ini :

a)      Jika A merpakan suatu bujursangkar, maka A merupakan suatu persegi panjang.

b)      Jika n adalah bilangan prima > 2, maka n adalah bilangan ganjil

Menentukan Argumen Valid/Invalid

1. Tentukan hipotesa dan kesimpulan kalimat
2. Buat tabel yang menunjukkan nilai kebenaran untuk semua hipotesa dan kesimpulan.
3. Carilah baris kritis, yaitu baris dimana semua hipotesa bernilai benar.
4. Dalam Baris kritis tersebut, jika semua nilai kesimpulan benar, maka argumen itu valid. Jika diantara baris kritis tersebut ada baris dengan nilai kesimpulan yang salah, maka argumen tersebut invalid.

Contoh :
Tentukan apakah Argumen ini Valid/Invalid.

Penyelesaian :

Ada 2 Hipotesa, masing-masing p Ú (q Ú r) dan ~ r. Kesimpulannya adalah p Ú q.

Tabel kebenaran hipotesa² dan kesimpulan adalah sbb :

Metode-metode Inferensi

teknik untuk menurunkan kesimpulan berdasarkan hipotesayang ada, tanpa harus menggunakan tabel kebenaran

Hal ini dapat dilihat dari tabel kebenaran yang tampak pada tabel berikut.